摸摸「浮点数」的底

摆理论和套公式其实也是为了说明问题，解释原理，不过有时却适得其反。

前一个主题介绍了整数在计算机里的存储形式，浮点数，即小数，例如 3.14、2.71828 等，看起来和整数相近，而二者在计算机中存储的形式大为不同，作为一种常用的数据类型，来了解了解其中的本质，这个主题我们一起来摸摸「浮点数」的底。

浮点数有多种类型，但是我们写代码时常用到的有两种，按照所占长度分为：一个是单精度，占用 32 个二进制位，另一个是双精度，占用 64 个二进制位。不管是什么类型、占用多少位，存储的模式都是类似的，而这也正是我们想要摸的「底」。

1. 化身为二进制的浮点数

首先明确一点，不管什么类型的数据，整数也好，浮点数也罢，在计算机中都是以二进制形式存储，即 01001、10110 这样的形式。

那么，二进制的浮点数该如何表示呢？

在此之前，我们先来看下十进制的小数 22.71是如何表示的：小数点左边第一位为个位，表示 1，第二位为十位，表示 10；小数点右边第一位为十分位，表示 1/10，即 10^^-1，第二位为百分位，表示 1/100，即 10^^-2，综合如下。

22.71 = 2*10^1 + 2*10^0 + 7*10^-1 + 1*10^-2
      = 20 + 2 + 0.7 + 0.01
      = 22.71

上面就是十进制浮点数的表示形式，而二进制与十进制整体相同，唯一区别就在于将 10 换成了 2，举个例子，如二进制浮点数 101.11：小数点左边第一位表示 2^⁰，即 1，第二位表示 2^¹，即 2，第三位表示2^²，即 4；小数点右边第一位表示 2^^-1，即 0.5，第二位表示 2^^-2，即 0.25，综合如下。

101.11 = 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^-1 + 1*2-2
       = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25
       = 5.75

2. 自由转化的浮点数

既然，浮点数既可以用十进制表示，也可以用二进制表示，那么同一个浮点数如何在这两种进制之间自由转化呢？由二进制转为十进制就不用说了，上面刚刚用 101.11 演示完，而由十进制转为二进制很多人都是直接套公式却没想过原理，接下来说说推导公式的过程。这个转化过程需要将浮点数的整数部分和小数分别转化，之后再进行合并。

我们用 6.625 来举例说明。先看整数部分的 6，这个我们一眼就能看出来，结果是 110，但是如果换成 60、600，这些不能一眼看出的数呢？其实很多事情都是如此，将思考过程从「一眼就能看出的」的情况中抽象出来，就是计算方法。这个思考过程无非就是，想知道需要几个二进制位、每个二进制的值是多少，就可以表示 6。

为了便于理解，我们先看一下计算表示 758 需要几个十进制位以及每位的值是多少。

先从个位，即右起第一位开始:

很显然，求个位的值用 758 对 10 取余即可：758 / 10 = 75···8，结果为 8，此时原数还剩下 75*10，大于 0，说明一位不够；

继续求第二位的值：75*10 / 100 = 75 / 10 = 7···5，结果为 5，此时原数还剩下 7*100，大于 0，说明两位还是不够；

继续求第三位的值：7*100 / 1000 = 7 / 10 = 0···7，结果为 7，此时原数还剩下 0*1000，等于 0，说明三位十进制够用了。

最终结果，需要 3 个十进制位，从左到右的值分别是 7、5、8，即 758。

同时我们发现的一个规律是：
求第二位的值时，用计算完第一位的商对 10 取余即可，
求第三位的值时，用计算完第二位的商对 10 取余即可。

由此可得，求第 n 位的值时，用计算完 n-1 位的商对 10 取余数即可，当商为 0 时，结束，注意 n > 1。如上，就是十进制抽取方法的过程，也同样适用于二进制，区别就在于将 10 换成了 2，实际计算一下。

计算将 6 用二进制的值，同样从右起的第一位开始：

先求第一位：6 / 2 = 3···0，结果为 0，原数还剩下 3*2^1，大于 0，说明一位不够；

继续求第二位，3 / 2 = 1···1，结果为 1，原数还剩下 1*2^2，大于 0，说明两位不够；

继续求第三位，1 / 2 = 0···1，结果为 1，原数还剩下 0*2^3，等于 0，说明三位二进制够了。

最终结果，需要 3 个二进制位，从左到右的值分别是 1、1、0，即 110，而这也与我们直观上看到的结果相符。

与整数部分的计算类似，再看下小数部分的计算。同样，先用比较直观的十进制浮点数举例，从而从中总结规律。

计算 0.358 用几位十进制的浮点数表示，及每位的值的过程，从左开始，

先求第一位，注意，与整数不同的是，这里是取商，而不是余数：
0.358 / 10^-1 = 0.358 * 10 = 3···0.58，结果是：3，原数还剩下：0.58*10^-1 > 0;
继续求第二位，
0.58*10^-1 / 10^-2 = 0.58 * 10 = 5···0.8，结果是：5，还剩下：0.8*10^-2 > 0;
继续求第三位，
0.8*10^-2 / 10^-3 = 0.8 * 10 = 8···0，结果是：8，还剩下：0，说明 3 位十进制够了。

最终结果，需要 3 个十进制，从右向左分别是 3、5、8，即 0.358。

同时，我们发现：
求第二位时，用计算完第一位的余数乘 10 再取商即可，
求第三位时，用计算完第二位的余数乘 10 再取商即可。

由此可得，计算第 n 位时，用计算完第 n-1 位的余数乘 10 再取商即可，当余数等于 0 时结束，注意 n > 1。紧接着，用我们从上面十进制例子中总结的方法计算下二进制。

计算 6.625 的小数部分 0.625 的二进制形式，从左开始，

先求第一位，0.625 * 2 = 1···0.25，结果是 1，原数还剩下：0.25*2^-1 > 0；
继续求第二位，0.25 * 2 = 0···0.5，结果是 0，原数还剩下：0.5*2^-2 > 0；
继续求第三位，0.5 * 2 = 1···0，结果是 1，原数还剩下：0，结束。

最终结果，需要 3 个二进制位，从左向右分别是：1、0、1，即 0.101。

至此，我们完成了所有计算过程，整数部分：110，小数部分：101，最终结果为：110.101。

3. 如何存储

前面做了那么多铺垫，现在终于可以开始说存储了。存储之前，需要先把二进制的浮点数用科学计数法表示，也称规范化，即

N = ±a x 2^ⁿ , a∈ [1,2)

a 叫作尾数，n 叫作阶码。计算机存储的浮点数都是这种形式的，例如上面的 110.101 就需要变成 1.10101x2^²，而 0.1101 就需要变成 1.101x2^^-1，这个变换的过程很简单。

对于浮点数 ±a*2^ⁿ，计算机将其分成了 3 个部分来进行存储，即存储正负的符号位、存储 n 的指数域和存储 a 的尾数域，是的，存储 a 的部分叫做尾数域。

对于长度为 32 位二进制的浮点数，从左起，第 1 位用来表示符号，0 代表正数，1 代表负数。接下来的 8 位，即第 2 位到第 9 位，用来表示指数。而从第 10 位开始一直到最后的 32 位，都用来表示尾数，对于科学计数法下的 a，其整数部分的值永远都是 1，所以这个 1 就省略了，因此 23 位尾数二进制只存储了 a 的小数部分，即 1.10101 的 10101，1.101 的 101。

和 32 位类似，长度为 64 位二进制的浮点数，从左起，第一位存储符号，接下来的 11 位存储指数，剩下的 52 位存储尾数，而尾数同样省略了 a 的整数部分，只存储小数部分。

4. 阶码

符号位，0 或 1，尾数域，采用原码表示，这两种比较简单明了，这里要单独说一说阶码。

在此之前，先回忆一下移码。所谓移码，实际上就是把负数映射到正轴上，通俗的说就是消灭负数。例如，4 个bit位能表示的范围，[-2^³, 2^³ - 1]，即[-8, 7]。每个数字加上偏移量 2^³，即为移码。

阶码在计算机中也是以移码的形式存储的，区别在于这个偏移量。根据 IEEE 754 标准，k 位二进制位的解码，偏移量 bias 为 2^^k-1 - 1，例如 32 位单精度浮点数，阶码为 8 位，则偏移量为 2^^8-1 - 1 = 127。

N = (-1)^^S x 2^^E-Bias x (1+M)

其中，S为符号位的值，E为指数的值，M为尾数域的值，Bias为移码偏移量。

举个例子，-6.75，单精度浮点数，转化为规范化二进制为：-110.11 = -1.1011 x 2^²

符号位 S = 1，

阶码 E = 2 + Bias = 2 + 127 = 129

尾数 M = 1.1011 - 1 = 1011 (省去小数点)

1 10000001 10110000000000000000000 （尾数域：4 位精度 + 19 个 0，共 23 位）

至此，浮点数就介绍完了。